Complementos de Schur e Identificabilidad ante Parámetros de Molestia: Calibraciones Flotantes, Diseños Óptimos de 3 Puntos y Gravedad a Corta Distancia

I · La Objeción del Escéptico de Calibración: ¿Flotar (γ, s₀) Borra la Gravedad a Corta Distancia?

Toda prueba de precisión de la gravedad a corta distancia enfrenta un adversario geométrico silencioso antes de evaluar cualquier hipótesis no newtoniana: ningún laboratorio conoce su calibración absoluta con precisión infinita. En el experimento de balanza de torsión Eöt-Wash de Lee et al. (2020) y su desarrollo analítico de Fourier–Bessel en Lee et al. (2021), un péndulo azimutal de platino y resina de 120 cuñas mide un disco atractor entre 12 separaciones representativas de 52 µm a 3000 µm (3.0 mm). Como la rigidez torsional de la fibra, el contraste de densidad y el cero micrométrico portan incertidumbres estáticas, el análisis ajusta cada señal junto con 2 parámetros flotantes de molestia ( γ de escala newtoniana global y s₀ de desplazamiento rígido de separación ).

En los Ensayos ES.06 y ES.07, proyectar los límites con signo de Yukawa de la Tabla 11.4 sobre el potencial difuminado erf(r / 2σ) / r de Trillo y Navascués (2025) arrojó una cota de exclusión al 95% de σ_95 = 33.08 µm, fijando el techo híbrido paralelo 2.2109 σ_95 = 73.14 µm por debajo del corredor cuántico D = 75.00 µm. Un escéptico riguroso preguntará al instante: aquella regresión comparó el déficit crudo d_σ(s) = 1 − T_smeared(s) / T_N(s) directamente contra plantillas y_λ(s) sin proyectar antes fuera del espacio tangente N = span{1, s_min ∂_s ln T_N(s)} generado por δγ y δs₀. ¿Acaso proyectar hacia N^⊥ debilita σ_95 de vuelta hacia la estimación retirada de 44.07 µm?

Ejecutar la proyección exacta W-ortogonal de Gram–Schmidt modificado resuelve la objeción con un giro doble notable. Primero, bajo ruido absoluto constante de par W = diag(T_N(s)²), flotar δγ y δs₀ absorbe de verdad el 79.05% de la energía cruda: la retención de Fisher ‖P_⊥ d_σ‖_W² / ‖d_σ‖_W² cae al 20.95% (norma retenida 45.77%, frente a 67.32% de Fisher y 82.05% de norma bajo W = I). Sin embargo, σ_95^⊥ NO se debilita, sino que se ajusta ligeramente. ¿Por qué? Porque el límite con signo α_95⁻ = −7.360 en λ = 18 µm de la Tabla 11.4 YA descontó el perfil Δχ² = 6.17 sobre γ y s₀. Al aplicar P_⊥ tanto a d_33 µm como a y_18 µm, su coseno sube a cos θ_⊥ = 0.999935 (residuo 1.14%) con W = diag(T_N²) y a 0.999758 (residuo 2.20%) con W = I.

II · Romper la Degeneración de Calibración: Diseños Saturados de 3 Puntos de Kiefer–Wolfowitz bajo 50 µm

¿Por qué un experimento que evalúa 1 parámetro no newtoniano exige un brazo amplio de separaciones y dónde debe concentrar su tiempo de integración una balanza de próxima generación? Por conteo de rango, cualquier diseño con menos de p = 3 separaciones distintas produce una matriz de Fisher de 3 × 3 singular de rango ≤ 2, dejando (γ, s₀, α) no identificables sin importar cuántas horas se integre. En el dominio [25 µm, 3000 µm] —que abarca los 25 µm del microcantiléver de Geraci et al. (2008), la torsión submilimétrica de Tan et al. (2020) y masas milimétricas (Westphal et al., 2021)—, el teorema de equivalencia de Kiefer–Wolfowitz garantiza un diseño D-óptimo saturado en p = 3 separaciones con pesos iguales (1/3, 1/3, 1/3).

Cada una de las 3 estaciones óptimas cumple una tarea física inequívoca: s₃ = 3000.00 µm fija la escala newtoniana pura γ donde el suavizado erf ya cayó a cero; la estación intermedia s₂ = 101.01 µm amarra la pendiente logarítmica ∂_s ln T_N(s) para calibrar s₀; y la estación interna s₁ = 25.00 µm captura la curvatura no newtoniana abrupta que ni γ ni s₀ logran imitar. Bajar la separación mínima de una campaña de 12 puntos por debajo de 52 µm bajo ruido constante de par dispara la información de Schur en σ = 33 µm: desde I_schur(52 µm) = 2.34 × 10⁻³⁵ N² m² hasta 1.26 × 10⁻³⁴ N² m² en s_min = 35 µm (ganancia de 5.36×) y 3.09 × 10⁻³⁴ N² m² en s_min = 25 µm (ganancia de 13.20×, reduciendo el error por √13.20 = 3.63×).

Examinar el presupuesto completo de Fisher bajo 50 µm explica ambas mitades de esa ventaja. Cuando el punto interno de la malla logarítmica de 12 separaciones avanza de 52 µm a 35 µm y 25 µm bajo ruido absoluto constante de par W = diag(T_N(s)²), la energía cruda sin perfilar ‖d_{33 µm}‖_W² crece 18.10× (de 1.12 × 10⁻³⁴ N² m² en 52 µm a 7.08 × 10⁻³⁴ N² m² en 35 µm y 2.03 × 10⁻³³ N² m² en 25 µm) porque el acoplamiento azimutal de Fourier–Bessel de 120 cuñas se intensifica a corta distancia. Aunque la absorción por calibración sube a 82.26% en 35 µm (17.74% retenido) y a 84.73% en 25 µm (15.27% retenido), la información sobreviviente del complemento de Schur aumenta 5.36× y 13.20× respectivamente. Ese balance aclara por qué sensores a 25 µm (Geraci et al., 2008), balanzas submilimétricas cerca de 101.01 µm (Tan et al., 2020) y anclas milimétricas en 3000 µm (Westphal et al., 2021) operan como estaciones complementarias.

III · Autovalores Mal Condicionados en Cuatro Escalas: Torsión, PINNs de Puentes, Conos de Color y Alostería

Estandarizar cada matriz de sensibilidad de 3 parámetros a su forma de correlación de diagonal unitaria R_ab = F_ab / √(F_aa F_bb) (con Tr(R) = 3.0000 e I_schur / I_raw = 1 − R_θn R_nn⁻¹ R_nθ invariante de escala) explica por qué las jerarquías de autovalores mal condicionados aparecen en ingeniería, óptica y biofísica. En el Folio E.07, un arreglo disperso de 8 sensores sobre un tablero de puente según Raissi et al. (2019) busca separar la rigidez central sin²(πx) de la flexibilidad de apoyo 4x(1 − x) y del pretensado sin(πx): solo con desplazamientos, el número de condición sube a κ = 1.03 × 10⁶ y la retención de Schur cae a 0.019%. Añadir el residuo PDE de cuarto orden (λ_pde = 1.0) anula ∂_x⁴[4x(1 − x)] = 0, bajando κ a 20.79 y elevando la retención 1004× a 19.52%.

La misma geometría gobierna el Folio M.08 y la biofísica alostérica. En la colorimetría perceptual de MacAdam (1942), los conos humanos L (565 nm) y M (540 nm) se traslapan fuertemente entre 420 nm y 660 nm junto a S (445 nm): perfilar las excitaciones (M, S) deja solo 10.96% de retención de Schur sobre L (κ = 36.78), alargando las elipses de MacAdam sobre ejes metaméricos. Del mismo modo, en el modelo cooperativo de 2 sitios de Veit et al. (2020) para combinaciones correctoras de CFTR, variar ambos ligandos sobre una recta equimolar 1-D (c₁ = c₂ en 8 dosis de 0.1 a 16.0) confunde la cooperatividad ln α₁₂ con ΔG₀, dejando apenas 0.85% de retención (κ = 944.56); pasar a un tablero ortogonal 2-D de 15 puntos eleva la información de Schur 10.14× y sube la retención 6.31× a 5.34% (κ = 300.81).

IV · Alcance Epistémico: Proyección Tangente Linealizada frente a Verosimilitud Cruda de 95 Corridas

¿Qué demuestra exactamente nuestra auditoría por complemento de Schur y qué permanece fuera de su alcance? Dentro del marco de proyección sobre tablas publicadas —estatuto DERIVADO (NO MEDIDO) a partir de Lee et al. (2020)—, sustituir la regresión cruda por proyección W-ortogonal exacta elimina la principal aproximación interna de T.05: en las 4 combinaciones de pesos (W = I y W = diag(T_N²)) y proyección (cruda y P_⊥), la cota al 95% permanece agrupada en 32.85 µm ≤ σ_95 ≤ 33.08 µm, una dispersión de solo 0.23 µm, más de 11 µm bajo el valor retirado de 44.07 µm. Así, el techo híbrido paralelo 2.2109 σ_95 queda entre 72.63 µm y 73.14 µm, preservando la isla en D = 75.00 µm de ES.07.

Al mismo tiempo, 3 fronteras explícitas impiden exagerar el alcance. Primero, nuestro proyector P_⊥ opera sobre una malla sustituta de 12 separaciones con pesos analíticos W = I o W = diag(T_N²); la campaña real de Eöt-Wash combinó 95 corridas en 3 orientaciones con parámetros magnéticos y de inclinación cuya matriz de covarianza completa no es pública. Segundo, la Tabla 11.4 reporta límites asimétricos no lineales Δχ² = 6.17 (unas 2.2 σ_α bajo α* = +18.9 ± 12.0 en λ = 18 µm y 2.5 σ_α arriba), mientras P_⊥ linealiza s₀ sobre la malla nominal. Tercero, igual que en ES.07, afinar un recast infrarrojo evalúa modelos híbridos difuminados (Trillo y Navascués, 2025) sin decidir la gravedad cuántica ultravioleta ni sustituir un experimento real de entrelazamiento.

Algebraicamente, la misma ley de eliminación por bloques indica cómo una colaboración con las series crudas de 95 corridas evaluaría de extremo a extremo un núcleo distinto de Yukawa. Cuando N_runs = 95 barridos experimentales portan derivas locales η_r junto con parámetros geométricos compartidos (γ, s₀) y la amplitud objetivo α, la matriz global de Fisher adopta una estructura de flecha por bloques cuyo complemento exacto de Schur se reduce a la suma de 95 matrices proyectadas por corrida menos 1 término acoplado de calibración compartida. Publicar esos hessianos perfilados de 2 × 2 o una matriz efectiva de precisión de Schur de 12 × 12 P_⊥ᵀ W P_⊥ junto a las curvas estándar de Yukawa permitiría proyectar potenciales arbitrarios —incluido el suavizado gaussiano erf en σ ≈ 33 µm— con precisión subporcentual sin exponer canales internos. Mientras tanto, combinar W = I y W = diag(T_N²) ofrece una horquilla transparente.

V · Diez Teoremas sin Sorry en Lean 4 Base y Certificados Polinómicos Racionales Multivariables

Siguiendo la disciplina formal de Tooby-Smith (2025) y de los Ensayos ES.06 y ES.07, el archivo SchurIdentifiability.lean codifica 10 teoremas verificados en Lean 4 Prelude puro con 0 importaciones externas y 0 usos de sorry, admit o axiom. El Teorema 1 (schur_identifiability_si_homogeneity) verifica por reducción del núcleo (rfl) 6 identidades SI: par de cuñas [G ρ² L⁵] = Energy, déficit fraccionario [T / T_N] = 0, pendiente logarítmica [(dT_N / ds) / T_N] = L⁻¹, base adimensional [s_min d ln T_N / ds] = 0, peso de Fisher [(F L)² / σ_T²] = 0 y número de onda de Yukawa [1 / λ] = L⁻¹. Los Teoremas 2, 3 y 4 prueban 0 ≤ sq x, la identidad de Cauchy–Schwarz–Lagrange en 4 variables (a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²) − (a₁b₁ + a₂b₂)² = (a₁b₂ − a₂b₁)² ≥ 0 y la cota de Schur i_tt i_nn − i_tn² ≤ i_tt i_nn.

Los Teoremas 5 y 6 demuestran la aniquilación universal de Gram–Schmidt r₁ v₁ + r₂ v₂ = 0 y la descomposición pitagórica exacta (v₁² + v₂²)²(d₁² + d₂²) = (v₁² + v₂²)(d₁v₁ + d₂v₂)² + (r₁² + r₂²), verificadas además como polinomios idénticamente nulos en 4 variables sobre ℚ dentro de verify_essay_schur_identifiability.py. El Teorema 7 (kiefer_wolfowitz_trace_identity) prueba que si 3 varianzas direccionales cumplen d_i ≤ p y suman 3p, cada soporte satura d_i = p (3 × 1 = 3 para p = 3); el Teorema 8 certifica bajo 50 µm la cadena entera de Fisher 23 < 125 < 309 (> 5× a 35 µm y > 13× a 25 µm); el Teorema 9 prueba ∀ s_centi ∈ [3280, 3310], 2211 s_centi < 7500 × 1000 (preservando D = 75.00 µm); y el Teorema 10 certifica la cota de rango n_pts < p_params → ¬(p_params ≤ n_pts).

Fuentes Primarias y Registro DOI sin Conexión